Heigho

 

 Arithmetic Progressions (समांतर श्रेणी)
Exercise – 5.4 (ऐच्छिक)^*

 

1. A.P.: 121, 117, 113, … का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा?

[संकेत: a_n < 0 के लिए n ज्ञात कीजिए।]

πΩ∆⅓⅔⅕⅘⅚⅜ ⅟10  kihi±®≠≤™£©

यहाँ a = 121 तथा d = 117 – 121 = -4 है,

माना A.P. का nवाँ पद पहला ऋणात्मक पद है।

a_n < 0

a + (n – 1)d < 0

121 + (n – 1)(-4) < 0

121 – 4n + 4 < 0

125 < 4n

n > 125/4

n > 31.25

n = 32

अतः, इस A.P. का 32वाँ पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा।

 

2. किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

 

माना इस A.P. का पहला पद = a तथा सार्व अंतर = d

A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है, इसलिए

a₃ + a₇ = 6

a + (3 – 1)d + a + (7 – 1)d = 6

a + 2d + a + 6d = 6

2a + 8d = 6

a + 4d = 3

a = 3 – 4d …………….(1)

A.P. के तीसरे और सातवें पदों का गुणनफल 8 है, इसलिए

(a₃)(a₇) = 8

(a + (3 – 1)d)(a + (7 – 1)d) = 8

(a + 2d)(a + 6d) = 8

समीकरण (1) से a का मान रखने पर,

(3 – 2d)(3 + 2d) = 8

3² – 4d² = 8

4d² = 1

d = ± ½

यदि d = ½  समीकरण (1) में d का मान रखने पर,

a = 3 – 4(½) = 1

इस A.P.  के प्रथम 16  पदों का योग,

S₁₆ = 16/2 [2a + (16 – 1)d] = 8[2(1) + 15(½)] = 76

यदि d = - ½ समीकरण (1) में d का मान रखने पर,

a = 3 – 4(-½) = 5

इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग,

S₁₆ = 16/2 [2a + (16 – 1)d] = 8[2(5) + 15(-½)] = 20

अतः, इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग 20 या 76 होगा।

 

3. एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर 25 cm की दूरी पर है (देखिए आकृति 5.7)। डंडे की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लंबाई 45 cm है और सबसे ऊपर वाले डंडे की लंबाई 25 cm है। यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दूरी 2½ m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी?

[संकेत: डंडे की संख्या = 250/25 + 1 है।]

यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दूरी 2½ m है तथा क्रमागत डंडे परस्पर 25 cm की दूरी पर है। इसलिए,

डंडों की संख्या = 250/25 + 1 = 10 + 1 = 11

डंडों की लंबाई समांतर श्रेणी में 25 cm से 45 cm तक बढ़ रही है, जिसमें पहला पद a = 25 तथा अंतिम पद a₁₁ = 45 है। माना, इस A.P. का सार्व अंतर d है।

इसलिए, a₁₁ = 45

a + (11 – 1)d = 45

25 + 10d = 45

d = 20/10 = 2

डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की लंबाई = S₁₁

= 11/2[2a + (11 – 1)d] = 11/2[2(25) + 10(2)] = 11 × 35 = 385 cm

अतः डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की 385 cm लंबाई की आवश्यकता होगी।

 

4. एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है कि x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।

[संकेत: S_{x – 1} = S₄₉ – S_x है।]

 

यहाँ a = 1 तथा d = 1 है,

A.P.  का n पदों तक का योग,

S_n = n/2 [2a + (n – 1)d]

x से अंकित मकान से पहले के मकानों की सख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। इसलिए,

S_{x – 1} = S₄₉ – S_x

(x – 1)/2 [2a + (x – 1 – 1)d] = 49/2 [2a + (49 – 1)d] – x/2 [2a + (x – 1)d]

(x – 1)/2 [2(1) + (x – 2)1] = 49/2 [2(1) + 48(1)] – x/2 [2(1) + (x – 1)(1)]

(x – 1)[x] = 49[50] – x[x + 1]

x² – x = 2450 – x² – x

2x² = 2450

x² = 1225

x = 35

अतः, x का मान 35 है।

 

5. एक फुटबाल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लंबाई 50 m है और वह ठोस कंक्रीट (concrete) की बनी है। प्रत्येक सीढ़ी में ¼ m की चढ़ाई है और ½ m का फैलाव (चौड़ाई) है। (देखिए आकृति 5.8)। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।

[संकेत: पहली सीढ़ी को बनाने में कंक्रीट का आयतन = ¼ × ½ × 50 m³ है।]

पहली सीढ़ी को बनाने में कंक्रीट का आयतन = ¼ × ½ × 50 = ¼ × 25 m³

दूसरी सीढ़ी को बनाने में कंक्रीट का आयतन = 2/4 × ½ × 50 = 2/4 × 25 m³

तीसरी सीढ़ी को बनाने में कंक्रीट का आयतन = ¾ × ½ × 50 = ¾ × 25 m³

सीढ़ियों का आयतन समांतर श्रेणी में बढ़ रहा है, जिसमे पहला पद a = ¼ × 25 तथा अंतिम पद a₁₅ = 15/4 × 25 है। इस A.P. का सार्व अंतर d = 2/4 × 25 – ¼ × 25 = ¼ × 25 हैं। इसलिए,

इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन = S₁₅

= 15/2[2(¼ × 25) + (15 – 1)( ¼ × 25)]

= 15/2 [25/2 + 175/2] = 15/2 × 200/2 = 750 m³

अतः, इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन 750 m³ है।

Download Class10 NCRT समांतर श्रेणी  Exercise – 5.4 (ऐच्छिक)* pdf